Question

如图所示，M、N分别是⊙O的弦AB、CD的中点，AB=CD．求证：∠AMN=∠CNM．

Answer 1

【答案】分析：由弦AB=CD，想到利用弧，圆心角、弦、弦心距之间的关系定理，又M、N分别为AB、CD的中点，如连接OM、ON，则有OM=ON，OM⊥AB，ON⊥CD，故易得结论．
解答：证明：连接OM、ON，
∵O为圆心，M、N分别为弦AB、CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD．
∵AB=CD，
∴OM=ON．
∴∠OMN=∠ONM．
∵∠AMN=90°-∠OMN，
∵∠CNM=90°-∠ONM，
∴∠AMN=∠CNM．
点评：有弦中点，常用弦心距利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理来证明．