Question

如图所示, 在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BD，设MN交∠BCA的平分线于点E, 交∠BCA的外角平分线于点F。

（1）求证：EO = FO。

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并加以证明。

（3）满足什么条件时，四边形AECF是正方形，并加以证明。

Answer 1

证明：（1）∵MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。

∴∠ECO = ∠BCE，∠DCF = ∠OCF

又∵直线MN ∥BC，

∴∠BCE = ∠CEO，∠DCF = ∠CFO

∴∠ECO = ∠CEO，∠CFO = ∠OCF

∴EO = CO，CO = FO

∴ EO = FO               

（2）当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，

证明：当EO = FO时，O为EF的中点，

而当O为AC的中点时，说明四边形AECF是平行四边形

由（1）可知CO =EF，而CO =AC

∴EF = AC，所以四边形AECF是矩形。

（3）当点O运动到AC中点且∠ACB = 90°，四边形AECF是正方形。

证明：当∠ACB = 90°，∠CEO = ∠CFO = 45°

∴EC = CF，而当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形

∴四边形AECF是正方形。