Question

如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，

且△CBE≌△CDF．

（1）图1中的△CBE可以通过怎样的旋转得到△CDF；

（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？

（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，求DE的长．

 

Answer 1

.(1) 的△CBE以C为旋转中心，顺时针旋转90°得到△CDF

（2）解：GE＝BE＋GD成立．

理由是：

∵△CBE≌△CDF，

∴∠BCE＝∠DCF．

∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD

即∠ECF＝∠BCD＝90°，

又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°．

∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，

∴△ECG≌△FCG．     

∴GE＝GF．

∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD．

（3）解：过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．

在直角梯形ABCD中，

∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，

又∠CGA＝90°，∠A＝∠CGA ，∴AB//CG

∴四边形ABCG平行四边形．

∵AG＝BC＝12，四边形ABCG平行四边形．

∴AG＝AB              根据（1）（2）可知，ED＝BE＋DG．

设DE＝x，则DG＝x－4，

∴AD＝16－x．

在Rt△AED中，   ∵，即．

解这个方程，得：x＝10．

∴DE＝10．