Question

如图1所示，已知直线与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当时，y取最大值.

（1）求抛物线和直线的解析式；

（2）设点P是直线AC上一点，且，求点P的坐标；

（3）若直线与（1）中所求的抛物线交于M、N两点，问:

①是否存在a的值，使得∠MON=90⁰？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；

②猜想当∠MON＞90⁰时，a的取值范围（不写过程，直接写结论）.

（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则M，N两点间的距离为）

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）或（3）①存在②当时，∠MON＞90⁰。

【解析】解：（1）∵当时，取最大值，

∴ ，解得。

∴抛物线的解析式为。

令，解得 ，∴A（－3，0），B（2，0）。

令x=0，得，∴C（0，6）。

将A、C的坐标代入，得

，解得。

∴直线AC的解析式为。

（2）分两种情况：

①点P在线段AC上时，过P作PH⊥x轴，垂足为H，

∵，∴。

∵PH∥CP，∴△APH∽△ACO。

∴，即。

∴。∴。

∴。

②点P在线段CA的延长线上时，过P作PG⊥x轴，垂足为G，     

∵，∴。

∵PG∥CO，∴△APG∽△ACO。

∴，即。

∴。∴。

∴。

综上所述，点P的坐标为或。

（3）①存在。

假设存在a的值，使直线与（1）中所求的抛物线交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点（M在N的左侧），使得∠MON=90⁰，

由得。

∴。

又，，

∴。

∵∠MON=90⁰，∴。

∴。∴。

∴，即，解得或。

∴存在或使得∠MON=90⁰。

②当时，∠MON＞90⁰。

（1）根据当时，取最大值列式求出b、c，从而得到抛物线的解析式；由抛物线的解析式得到A，C的坐标，由待定系数法求出直线AC的解析式。

（2）分点P在线段AC上和两种情况讨论即可。

（3）①应用一元二次方程根与系数的关系和勾股定理求解。

②如图，

当或时，∠MON=90⁰；

当或时，∠MON＜90⁰；

当时，∠MON＞90⁰。