Question

已知：⊙O₁与⊙O₂外切于P，AC是过P点的割线，交⊙O₁于A，交⊙O₂于C，BC切⊙O₂于C，过点O₁作直线AB交BC于B．求证：AB⊥BC．

Answer 1

解：连接O₁O₂，O₂C，
∵BC切⊙O₂于C，
∴O₂C⊥BC，
∵O₁O₂连接线经过P，
∴AO₁=O₁P，O₂P=O₂C，
又∵∠O₁PA=∠O₂PC，
∴∠PAO₁=∠O₁PA=∠O₂PC=∠O₂CP，
∴AB∥O₂C，
∴AB⊥BC．
分析：利用相切两圆的性质得出O₁O₂连接线经过P，进而得出∠PAO₁=∠O₁PA=∠O₂PC=∠O₂CP，即可得出AB∥O₂C，求出即可．
点评：此题主要考查了相切两圆的性质以及切线的性质，根据已知得出∠PAO₁=∠O₁PA=∠O₂PC=∠O₂CP是解题关键．