Question

一个等腰直角形三角板如图所示放置．
（1）据图1，请直接写出∠OBA与∠OAB之间的数量关系．
（2）图2，C为线段OA延长线上一动点，连BC，E为线段BC上某点，连OE且满足∠EBO=∠EOB，当C点运动到某一位置时，连AE且满足∠OEA=∠OAE．试判断此时∠BAE与∠OBE之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）若保持∠EBO=∠EOB不变，C点继续向右运动，当C运动到某一位置时∠AEO=∠AOE，此时过E作EF⊥OC于F，请直接写出

∠AEF

∠ABE

的值．

Answer 1

分析：（1）根据等腰三角形性质推出即可．
（2）求出∠OBA=∠OAB=45°，设∠OBE=∠BOE=x°，求出∠EOA=90°-x°，求出∠BAE=

1

2

x°，即可求出答案．
（3）设∠AEO=∠EOA=x°，求出∠ABE=∠OBE-∠OBA=45°-x°，求出∠AEF=90°-2x°，代入求出即可．

解答：解：（1）∠OBA=∠OAB，
理由是：∵△AOB是等腰直角三角形，
∴OB=OA，
∴∠OBA=∠OAB；

（2）∠BAE=

1

2

∠OBE，
证明：∵∠AOB=90°，∠OBA=∠OAB，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
设∠OBE=∠BOE=x°，
∵∠BOA=90°，
∴∠EOA=90°-x°，
∵∠EOA+∠OEA+∠OAE=180°，
∴∠OAE=

1

2

（180°-∠EOA）=

1

2

[180°-（90°-x°）]=45°+

1

2

x°，
∵∠OAB=45°，
∴∠BAE=∠OAE-∠OAB=（45°+

1

2

x°）-45°=

1

2

x°，
即∠BAE=

1

2

∠OBE；

（3）解：设∠AEO=∠EOA=x°，
∵∠AOB=90°，
∴∠EBO=∠EOB=90°-x°，
∵∠OBA=45°，
∴∠ABE=∠OBE-∠OBA=90°-x°-45°=45°-x°，
在△OFE中，EF⊥OC，
∴∠EFO=90°，
∴∠OEF=90°-x°，
∴∠AEF=90°-x°-x°=90°-2x°，
∴

∠AEF

∠ABE

=

90°-2x°

45°-x°

=2．

点评：本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理的应用，注意：三角形的内角和等于180°．