Question

6、己知方程x²-x-1=0的根是方程x⁶-px²+q=0的根，则p=

8

，q=

3

．

Answer 1

分析：根据韦达定理求得设方程x²-x-1=0的二根分别为x₁、x₂，由韦达定理，得x₁+x₂=1，x₁•x₂=-1；然后将x₁、x₂分别代入方程x⁶-px²+q=0列出方程组，再通过解方程组求得pq的值．

解答：解：设方程x²-x-1=0的二根分别为x₁、x₂，由韦达定理，得x₁+x₂=1，x₁•x₂=-1，则
x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=-1+2=3，
（x₁²）²+（x₂²）²=（x₁²+x₂²）²-2x₁²•x₂²=7．
将x₁、x₂分别代入方程x⁶-px²+q=0，得
x_₁⁶-px_₁²+q=0…①
x_₂⁶-px_₂²+q=0…②
①-②，得
（x_₁⁶-x_₂⁶）-p（x_₁²-x_₂²）=0，
【（x_₁²）³-（x_₂²）³】-p（x_₁²-x_₂²）=0，
（x_₁²-x_₂²）【（x₁²）²+（x_₂²）²+x_₁²•x_₂²】-p（x_₁²-x_₂²）=0，
由于x_₁≠x_₂，则x_₁²-x_₂²≠0，所以化简，得
【（x_₁²）²+（x_₂²）²+x_₁²•x_₂²】-p=0，
则p=（x_₁²）²+（x_₂²）²+（x_₁•x_₂）²=7+（-1）²=8，
①+②，得
（x_₁6+x_₂6）-8（x_₁²+x_₂²）+2q=0，
【（x₁²）³+（x₂²）³】-24+2q=0，
∴（x_₁²+x_₂²）【（x_₁²）²+（x_₂²）²-x_₁²•x_₂²】-24+2q=0，
∴3【（x_₁²）²+（x_₂²）²-（x_₁•x_₂）²】-24+2q=0，
∴3（7-1）-24+2q=0，解得
q=3；
综上所述，p=8，q=3．
故答案是：8、3．

点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．