Question

如图，B，C，D是⊙O上的三点，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，OB=6cm．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求由弦CD、BD与

BC

所围成的阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

分析：（1）连接OC，OC交BD于E，由∠CDB=∠OBD可知，CD∥AB，又AC∥BD，四边形ABDC为平行四边形，则∠A=∠D=30°，由圆周角定理可知∠COB=2∠D=60°，由内角和定理可求∠OCA=90°，证明切线；
（2）证明△OEB≌△CED，将阴影部分面积问题转化为求扇形OBC的面积．

解答：（1）证明：连接OC，OC交BD于E，
∵∠CDB=30°，
∴∠COB=2∠CDB=60°，（1分）
∵∠CDB=∠OBD，
∴CD∥AB，
又AC∥BD，∴四边形ABDC为平行四边形，
∴∠A=∠D=30°，
∴∠OCA=180°-∠A-∠COB=90°，
∴AC是⊙O的切线；（2分）

（2）解：易证△OEB≌△CED，
∴S_阴影=S_扇形BOC（2分）
∴S_阴影=

60×π×62

360

=6π．（3分）
答：阴影部分的面积是6π．

点评：本题考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，扇形面积的计算．关键是连接OC，利用内角和定理，三角形全等的知识解题．