Question

已知抛物线y=x²-x +k与x轴有两个交点。
（1）求k的取值范围；
（2）设抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，点D是抛物线的顶点，如果△ABD是等腰直角三角形，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线与y轴交于点C，点E在y轴的正半轴上，且以A、O、E为顶点的三角形和以B、O、C为顶点的三角形相似，求点E的坐标。

Answer 1

解：（1）根据题意得：△＝＞0，
∴k＜，
∴k的取值范围是k＜；
（2）设A（x₁，0）、B（x₂，0），则x₁+x₂=2，x₁x₂=2k
∴AB=＝=，
由y＝x²-x+k=（x－1）2+k －得顶点D（1，k－），当△ABD是等腰直角三角形时得；＝，
解得k₁=-，k₂=，
∵k＜，
∴k=舍去，
∴所求抛物线的解析式是y＝x²－x－；
（3）设E（0，y），则y＞0，令y＝0得x²－x－＝0，
∴x₁＝-1，x₂＝3，
∴A（-1，0）、B（3，0），
令x＝0得：y＝-，
∴C（0，-），
（i）当△AOE∽△BOC时得：
∴ ，解得y＝，
∴E₁（0，）；
（ii）当△AOE∽△COB时得： ，
∴，解得y＝2，
∴E₂（0，2），
∴当△AOE和△BOC相似时，E₁（0，）或E₂（0，2）。