题目内容

观察下面的解答：

为求数学公式的值，可设数学公式，显然x＞0，则数学公式
+数学公式
∵x＞0，∴x=数学公式
仿上面的解法求数学公式的值．

解：∵（）2
=+（）2
=2+2+2-
=6，
∵＞0，
∴=．
分析：先求出（）2的值，再根据与（）2的关系即可求出答案．
点评：此题考查了二次根式的化简求值，关键是找出规律再进行计算，要注意结果的符号．
练习册系列答案
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观察下面的解答：为求
3+
5
+
3-
5
的值，可设x=
3+
5
+
3-
5
，显然x＞0，则x2=(
3+
5
+
3-
5
)2=(
3+
5
)2+2
(3+
5
)(3-
5
)

+(
3-
5
)2=3+
5
+2
9-5
+3-
5
=10
∵x＞0，∴x=
10

仿上面的解法求
2+
3
-
2-
3
的值．
探究题：
（1）观察下列各式：
1
1
3
=2
1
3
；
2
1
4
=3
1
4
；
3
1
5
=4
1
5
．
①猜想
4
1
6
的变形结果并验证；
②针对上述各式反映的规律，给出用n（n为任意自然数，且n≥1）表示的等式，并进行证明．
（2）把阅读下面的解题过程：
已知实数a、b满足a+b=8，ab=15，且a＞b，试求a-b的值．
解：∵a+b=8，ab=15
∴（a+b）2=a2+2ab+b2=64
∴a2+b2=34
∴（a-b）2=a2-2ab+b2=34-30=4
∴a-b=
4
=2．
请你仿照上面的解题过程，解答下面的问题：已知实数x满足x+
1
x
=
8
，且x＞
1
x
，试求x-
1
x
的值．
观察下面的变形规律：
1
1×2
=1-
1
2
；
1
2×3
=
1
2
-
1
3
；
1
3×4
=
1
3
-
1
4
；…
1
2013×2014
=
1
2013
-
1
2014
…
解答下面的问题：
（1）试求
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2013×2014
；
（2）若n为正整数，请你猜想
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1
；
（3）请你根据变形规律进行适当变形，求
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
2013×2015
．
观察下面的变形规律：
1
1×2
=1-
1
2
；
1
2×3
=
1
2
-
1
3
；
1
3×4
=
1
3
-
1
4
；…
解答下面的问题：
（1）计算
1
5×6
=
1
5
-
1
6
1
5
-
1
6
；
（2）若n为正整数，请你猜想
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1
；
（3）利用你的结论求：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
9×10
．

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