Question

如图，抛物线y=ax²+x+c经过点A，B，C，已知A（-2，0），C（0，4），M为线段BC上一点，过点M作y轴的平行线，交抛物线于点D，连接CD，BD．
（1）求抛物线的解析式及点B的坐标；
（2）当△BCD的面积最大时，求点M的坐标及△BCD的面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）将点A（-2，0），C（0，4），代入抛物线解析式，可求出a、c的值，继而得出抛物线解析式及点B的坐标；
（2）延长DM交x轴于点E，设点D的坐标为（x，-

1

2

x²+x+4），根据S_△BCD=S_梯形CDEO+S_△BDE-S_△BOC，可得出△BCD的面积关于x的表达式，利用配方法可求出最值，再由x的值，可得出点M的坐标．

解答：解：（1）将A（-2，0），C（0，4）代入抛物线解析式可得：

4a-2+c=0 c=4

，
解得：

a=- 1 2 c=4

抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+x+4，
令y=0，则-

1

2

x²+x+4=0，
解得：x₁=-2，x₂=4，
故点B的坐标为（4，0）；

（2）延长DM交x轴于点E，设点D的坐标为（x，-

1

2

x²+x+4），

S_△BCD=S_梯形CDEO+S_△BDE-S_△BOC=

1

2

（-

1

2

x²+x+4+4）×x+

1

2

（4-x）（-

1

2

x²+x+4）-

1

2

×4×4=-x²+4x=-（x-2）²+4，
当x=2时，S_△BCD取得最大，最大值为4，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B、C的坐标代入可得：

4k+b=0 b=4

，
解得：

k=-1 b=4

，
即直线BC的解析式为：y=-x+4，
当x=2时，y=2，
故点M的坐标为（2，2）．
综上可得：点M的坐标为（2，2），△BCD的面积的最大值为4．

点评：本题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求抛物线解析式、梯形的面积及配方法求二次函数最值的知识，难点在第二问，关键是表示出S_△BCD的表达式，难度较大，注意数形结合思想的运用．