Question

如图，抛物线的顶点为A（-3，-3），此抛物线交x轴于O、B两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若抛物线上另一点P满足S_△POB=S_△AOB，请求出点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）²-3，然后把原点坐标代入求出a即可；
（2）根据抛物线的对称性确定B点坐标，然后根据三角形的面积公式求解；
（3）设P点坐标为（x，y），根据S_△POB=S_△AOB可计算出y，然后利用二次函数的解析式计算对应的x的值，从而得到P点坐标．

解答：解：（1）如图，连接AB、OA．设抛物线的解析式为y=a（x+3）²-3，
把（0，0）代入得a×3²-3=0，解得a=

1

3

，
所以此抛物线的解析式为y=

1

3

（x+3）²-3；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x=-3，
∴B点坐标为（-6，0），
∴△AOB的面积=

1

2

×6×3=9；
（3）设P点坐标为（x，y），
∵S_△POB=S_△AOB，
∴

1

2

|y|×6=9，
解得y=3或y=-3（舍去），
∴

1

3

（x+3）²-3=3，
解得x₁=3

2

-3，x₂=-3

2

-3，
∴P点坐标为（3

2

-3，3），（-3

2

-3，3）．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式：二次函数的解析式有三种常见形式：一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；顶点式：y=a（x-h）²+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；交点式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0）．