Question

已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点．
求证：（1）△ABM≌△DCM；（2）四边形MENF是菱形．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=CD，∠A=∠D，
∵M是AD的中点，
∴AM=DM，
在△ABM与△DCM中，
，
∴△ABM≌△DCM（SAS）；

（2）∵△ABM≌△DCM，
∴BM=CM，
∵M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点，
∴EN=CM=MF，EM=BM=FN，
∴ME=EN=NF=FM，
∴四边形MENF是菱形．
分析：（1）先根据四边形ABCD是等腰梯形，则AB=CD，∠A=∠D，再利用SAS证明△ABM≌△DCM，
（2）利用全等的性质得出BM=CM，再根据三角形的中位线定理得出EN=MF，EM=FN，从而根据四条边相等的四边形是菱形得出结论．
点评：本题考查了菱形的判定：四条边相等的四边形是菱形，全等三角形的判定以及等腰梯形的性质，综合性较强，难度中等．