Question

【题目】以长为2的线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上.

(1)求MA,DM的长;

(2)求证:AM2=AD·DM.

(3)根据(2)的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗?

Answer 1

【答案】(1) -1,3-; (2)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）由勾股定理求得PD的长，然后根据AM=AF=PF-PA=PD-PA，DM=AD-AM，求解即可；

（2）由（1）的计算数据，根据比例中项的性质进行证明；

（3）根据（2）的结论得，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点.

试题解析：(1)解:如图,∵P为边AB的中点,

∴AP=AB=1,∴DP===.∴PF=PD=.∴FA=PF-AP=-1.∴AM=FA=-1,DM=AD-MA=3-.

(2)证明:∵AM2=(-1)2=6-2,AD·DM=2(3-)=6-2,∴AM2=AD·DM.

(3)解:图中的点M为线段AD的黄金分割点.