题目内容
如图，等腰直角△DFE的直角边DF在等腰直角△ABC的斜边AC上．AB=6cm．当点A与点D两点重合时，让△DEF沿△ABC的斜边AC从点A向点C平移，当点F与点C重合时停止．设在平移过程中AD=xcm，点E到直线BC的距离EH为ycm．（1）求y与x的函数关系式；
（2）当△DEF沿AC平移到使FC=
cm时，点E到直线BC的距离为3cm，求△DEF的直角边长．
【答案】分析：（1）分①点A与点D重合时，四边形ABHE是矩形，根据矩形的对边相等可得EH=AB，②点A、D不重合时，延长ED交AB于M，利用∠A的余弦值表示出AM，再用AB-AM即可得解；
（2）根据（1）中结论根据EH的长度求出x，再根据DF=AC-AD-FC，代入数据进行计算即可得解．
解答：
解：（1）当点A与点D重合时，
∵∠EDF=∠ACB=45°，
∴DE∥BC，
∴∠ABC=∠BAE=90°，
此时四边形ABHE是矩形，
即x=0时，y=EH=AB=6cm，
当△DEF沿AC平移时，
如图1，延长ED交AB于点M，则有EM⊥AB，
∵∠A=45°，AD=x，
∴E点下降的距离AM=cos45°•x=
x，
∴y与x的函数关系式为y=6-
x；
（2）如图2，当△DEF沿AC平移到使FC=
cm时，
由EH=3cm，得y=6-
x，
解得AD=x=3
cm，
在Rt△ABC中，∠A=45°，AB=6cm，
∴AC=6÷
=6
cm，
∴△DEF的直角边DF=AC-AD-FC=6
-3
-
=2
cm．
点评：本题考查了等腰直角三角形，平移的性质，解直角三角形，解答本题需要熟练掌握等腰直角三角形的边的关系．
（2）根据（1）中结论根据EH的长度求出x，再根据DF=AC-AD-FC，代入数据进行计算即可得解．
解答：
解：（1）当点A与点D重合时，∵∠EDF=∠ACB=45°，
∴DE∥BC，
∴∠ABC=∠BAE=90°，
此时四边形ABHE是矩形，
即x=0时，y=EH=AB=6cm，
当△DEF沿AC平移时，
如图1，延长ED交AB于点M，则有EM⊥AB，
∵∠A=45°，AD=x，
∴E点下降的距离AM=cos45°•x=
x，∴y与x的函数关系式为y=6-
x；（2）如图2，当△DEF沿AC平移到使FC=
cm时，由EH=3cm，得y=6-
x，解得AD=x=3
cm，在Rt△ABC中，∠A=45°，AB=6cm，
∴AC=6÷
=6cm，∴△DEF的直角边DF=AC-AD-FC=6
-3-=2cm．点评：本题考查了等腰直角三角形，平移的性质，解直角三角形，解答本题需要熟练掌握等腰直角三角形的边的关系．
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