Question

对于某一自变量为x的函数，若当x=x₀时，其函数值也为x₀，则称点（x₀，x₀）为此函数的不动点．现有函数y=，
（1）若y=有不动点（4，4），（-4，-4），求a，b；
（2）若函数y=的图象上有两个关于原点对称的不动点，求实数a，b应满足的条件；
（3）已知a=4时，函数y=仍有两个关于原点对称的不动点，则此时函数y=的图象与函数y=的图象有什么关系？与函数y=的图象又有什么关系？

Answer 1

解：（1）将（4，4）、（-4，-4）代入y=中，得，解得
（2）令=x，得：3x+a=x²+bx（x≠-b）
即x²+（b-3）x-a=0
设方程的两根为x₁，x₂，则两个不动点（x₁，x₂），（x₂，x₂），
由于它们关于原点可以得到对称为，所以x₁+x₂=0，
∴，解得，
又因为x≠-b，即x≠-3，所以以a≠9，
因此a，b满足条件a＞0且a≠9，b=3；

（3）由（2）知b=3，此时函数为y=，
即y=3-
∴函数y=的图象可由y=-的图象向上平移3个单位得到，
又函数y=-的图象可由函数y=-的图象向左平移3个单位得到，
∴函数y=的图象可由函数y=-的图象向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到．
分析：（1）把（4，4），（-4，-4）代入函数解析式得到关于a，b的方程组，然后解方程组就可以确定函数的解析式；
（2）根据两点关于原点知道：纵坐标相同，横坐标互为相反数可以得到关于b的一元二次方程，再利用根与系数的关系确定a，b应满足的条件；
（3）根据（2）知道b=3，现在可以确定函数的解析式，把它化成y=3-，然后根据平移的规律可以得到与y=，y=-
的关系．
点评：此题首先考查了用待定系数法确定函数的解析式，然后考查了利用平移规律找到几个图象相同的函数之间的联系．