Question

对于某一自变量为x的函数，若当x=x₀时，其函数值也为x₀，则称点（x₀，x₀）为此函数的不动点．现有函数y=

3x+a

x+b

，
（1）若y=

3x+a

x+b

有不动点（4，4），（-4，-4），求a，b；
（2）若函数y=

3x+a

x+b

的图象上有两个关于原点对称的不动点，求实数a，b应满足的条件；
（3）已知a=4时，函数y=

3x+a

x+b

仍有两个关于原点对称的不动点，则此时函数y=

3x+a

x+b

的图象与函数y=-

5

x+3

的图象有什么关系？与函数y=-

5

x

的图象又有什么关系？

Answer 1

（1）将（4，4）、（-4，-4）代入y=

3x+a

x+b

中，得

12+a 4+b =4 -12+a -4+b =-4

，解得

a=16 b=3

（2）令

3x+a

x+b

=x，得：3x+a=x²+bx（x≠-b）
即x²+（b-3）x-a=0
设方程的两根为x₁，x₂，则两个不动点（x₁，x₂），（x₂，x₂），
由于它们关于原点可以得到对称为，所以x₁+x₂=0，
∴

b-3=0 (b-3)2=4a＞0

，解得

a＞0 b=3

，
又因为x≠-b，即x≠-3，所以以a≠9，
因此a，b满足条件a＞0且a≠9，b=3；

（3）由（2）知b=3，此时函数为y=

3x+4

x+3

，
即y=3-

5

x+3

∴函数y=

3x+4

x+3

的图象可由y=-

5

x+3

的图象向上平移3个单位得到，
又函数y=-

5

x+3

的图象可由函数y=-

5

x

的图象向左平移3个单位得到，
∴函数y=

3x+4

x+3

的图象可由函数y=-

5

x

的图象向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到．