Question

如图M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=45°，且DM交AC于F，ME交BC于G，连接FG，若AB=4

2

，AF=3，则BG=

8

3

，FG=

5

3

．

Answer 1

分析：根据已知条件，∠DME=∠A=∠B=45度，结合图形上的公共角∠E，即可推出AMF∽△BGM，再根据相似三角形的性质，推出BG的长度，依据锐角三角函数推出AC的长度，即可求出CG、CF的长度，继而推出FG的长度．

解答：解：∵∠AFM=∠DME+∠E（外角定理），
∠DME=∠A=∠B（已知），
∴∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E=∠BMG，∠A=∠B，
∴△AMF∽△BGM，
∵∠DME=∠A=∠B=45°
∴AC=BC，∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵M为AB的中点，
∴AM=BM=2

2

，
∵△AMF∽△BGM，
∴

AF

AM

=

BM

BG

，
∴BG=

AM•BM

AF

=

2 2 ×2 2

3

=

8

3

，
AC=BC=4

2

cos45°=4，
∴CG=4-

8

3

=

4

3

，CF=4-3=1，
在Rt△FCG中，由勾股定理得：
FG=

CF2+CG2

=

12+( 4 3 )2

=

5

3

．
故答案为：

8

3

，

5

3

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形、等腰三角形的性质，解题的关键找到相似的三角形，根据其性质求出BG、FG的长度．