Question

如图A、B是反比例函数y=

3

x

上两点，过这两点的直线与x轴的夹角为45°，与y轴的交点为（0，2），作AC∥x轴，AC⊥BC于点C．
（1）求阴影部分面积；
（2）若BC和AC分别交x轴、y轴于D、E，连接DE，求证：△ABC∽△EDC．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）根据题意设直线AB解析式为y=x+b，把（0，2）代入求出b的值，确定出直线AB解析式，进而确定出Q的坐标得到OP=OQ，求出三角形OPQ面积，把直线AB解析式与反比例解析式联立求出A与B坐标，确定出AE=BD=3，CE=CD=1，求出AC=BC=4，确定出三角形ABC面积，由三角形ABC面积减去三角形OPQ面积求出阴影部分面积即可；
（2）由（1）得到三角形DEC与三角形BAC都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到两对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证．

解答：解：（1）根据题意设直线AB解析式为y=x+b，
把（0，2）代入得：b=2，即直线AB解析式为y=x+2，
令y=0，得到x=-2，即OQ=OP=2，
∴S_△OPQ=

1

2

×2×2=2，
与反比例解析式联立得：

y= 3 x y=x+2

，
解得：

x=1 y=3

或

x=-3 y=-1

，
∴A（-3，-1），B（1，3），即AE=BD=3，EC=CD=1，
∴AC=BC=3+1=4，
∴S_△ABC=

1

2

×4×4=8，
则S_阴影=S_△ABC-S_△OPQ=8-2=6；
（2）由（1）得到EC=DC，且∠C=90°，AC=BC，
∴△DEC和△BAC都为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CBA=45°，∠CED=∠CAB=45°，
则△ABC∽△EDC．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：直线的点斜式方程，坐标与图形性质，一次函数与反比例函数的交点问题，以及等腰直角三角形的判定与性质，弄清题意是解本题的关键．