Question

如图，△ABC中，AB=AC，AD，CD分别是△ABC两个外角的平分线。

（1）求证：AC=AD；

（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．

 

Answer 1

【答案】

（1）根据三角形外角的性质得到∠CAF=∠B+∠ACB，由AB=AC可得∠B=∠ACB，即可得到∠CAF=2∠B，根据角平分线的性质可得∠CAF=2∠FAD，即可得到∠B=∠FAD，则可得AD//BC，根据平行线的性质可得∠D=∠DCE，再根据角平分线的性质可得∠DCE=∠ACD，即可证得结论；

（2）由△ABC中，AB=AC，∠B=60°可证得△ABC是等边三角形，即得AB=BC=AC，由AD=AC可得AD=BC，再结合AD//BC可证得四边形ABCD是平行四边形，再有AB=BC即可证得结论.

【解析】

试题分析：（1）∵∠CAF是△ABC的外角

∴∠CAF=∠B+∠ACB

∵AB=AC

∴∠B=∠ACB

∴∠CAF=2∠B 

∵AD是△ABC两个外角的平分线

∴∠CAF=2∠FAD 

∴∠B=∠FAD  

∴AD//BC  

∴∠D=∠DCE

∵CD是△ABC外角的平分线

∴∠DCE=∠ACD 

∴AC=AD；

（2）∵△ABC中，AB=AC，∠B=60° 

∴△ABC是等边三角形

∴AB=BC=AC  

∵AD=AC   

∴AD=BC 

又∵AD//BC

∴四边形ABCD是平行四边形

∵AB=BC 

∴四边形ABCD是菱形.

考点：三角形的外角的性质，角平分线的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定

点评：此类问题是初中数学的重点，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握.