Question

把一个正方体的六个面分别标上字母A、B、C、D、E、F并展开如图所示，已知：A=x²-4xy+3y²，C=3x²-2xy-y²，B=

1

2

(C-A)，E=B-2C，若正方体相对的两个面上的多项式的和都相等，求D、F．

Answer 1

分析：利用正方体及其表面展开图的特点解题．这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中A与C是相对，B与D是相对，E与F是相对．再根据正方体相对的两个面上的多项式的和都相等求解．

解答：解：由图形可知A与C是相对，B与D是相对，E与F是相对．
∴B+D=A+C，
又∵A=x²-4xy+3y²，C=3x²-2xy-y²，B=

1

2

（C-A），
则D=（A+C）-B
=（A+C）-

1

2

（C-A）
=

3

2

A+

1

2

C
=

3

2

（x²-4xy+3y²）+

1

2

（3x²-2xy-y²）
=3x²-7xy+4y²；
∵E=B-2C，A=x²-4xy+3y²，C=3x²-2xy-y²
F=（A+C）-E
=（A+C）-（B-2C）
=（A+C）-[

1

2

（C-A）-2C]
=

3

2

A+

5

2

C
=

3

2

（x²-4xy+3y²）+

5

2

（3x²-2xy-y²）
=9x²-11xy+2y²．
故D为3x²-7xy+4y²、F为9x²-11xy+2y²．

点评：本题考查了正方体相对两个面上的文字和整式的加减，根据正方体的平面展开图的特征知，其相对面的两个正方形之间一定相隔一个正方形．