Question

如图，已知等边△ABC中，D、E两点在直线BC上，且∠DAE=120°．
（1）判断△ABD是否与△ECA相似，并说明你的理由；
（2）当CE•BD=16时，求△ABC的周长．

Answer 1

分析：（1）△ABD与△ECA相似，由△ABC是等边三角形得到AB=AC，∠ACB=∠ABC=60°，由此得到∠ACE=∠ABD=120°，而∠DAE=120°，由此再证明∠D=∠CAE即可可以证明△ADE∽△CAE；
（2）由（1）可知△ABD∽△ACE，所以

BD

AC

=

AB

CE

，即AB•AC=BD•CE．由此可求出AB的长，从而求出△ABC的周长．

解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°．
∵∠DAE=120°，
∴∠DAB+∠CAE=60°．
∵∠DAB+∠D=∠ABC=60°，
∴∠D=∠CAE．
∵∠DBA=∠ACE=120°，
∴△ABD∽△ECA；

（2）解：∵△ABD∽△ECA，
∴

BD

AC

=

AB

CE

，
即AB•AC=BD•CE．
∵BD•CE=16，
∴AB•AC=16．
∵AB=AC，
∴AB²=16，
∴AB=4，
∴△ABC的周长为12．

点评：本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是注意题目中的相等线段的代替．