Question

如图AD是△ABC的高，点G、H在BC边上，点E在AB边上，点F在AC边上，BC=10cm，AD=8cm，四边形EFHG是面积为15cm²的矩形，求这个矩形的长和宽．

Answer 1

分析：首先设矩形EFHG的长为xcm，由四边形EFHG是面积为15cm²的矩形，可得矩形EFHG的宽为：

15

x

cm，又由BC=10cm，AD=8cm，可求得AK的值，易证得△AEF∽△ABC，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比，即可得方程：

8- 15 x

8

=

x

10

，解此方程即可求得答案．

解答：解：设矩形EFHG的长为xcm，
∵四边形EFHG是面积为15cm²的矩形，
∴矩形EFHG的宽为：

15

x

cm，
即EF=GH=xcm，EG=FH=

15

x

cm，
∵AD是△ABC的高，四边形EFHG是矩形，
∴EF∥BC，KD=EG=

15

x

cm，
∴AD⊥EF，AK=AD-KD=（8-

15

x

）cm，
∴△AEF∽△ABC，
∴

AK

AD

=

EF

BC

，
∴

8- 15 x

8

=

x

10

，
即4x²-40x+75=0，
∴（2x-15）（2x-5）=0，
解得：x=

15

2

或x=

5

2

，
当x=

15

2

时，

15

x

=2；
当x=

5

2

时，

15

x

=6．
∴这个矩形的长和宽为：

15

2

，2或6，

5

2

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质和矩形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．