题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，如果点
、点
为某个菱形的一组对角的顶点，且点、在直线
上，那么称该菱形为点、的“极好菱形”，如图为点、的“极好菱形”的一个示意图。
（1）点
，
，
中，能够成为点
、
的“极好菱形”的顶点的是_______.
（2）若点、的“极好菱形”为正方形，则这个正方形另外两个顶点的坐标是________.
（3）如果四边形
是点、的“极好菱形”
①当点
的坐标为
时，求四边形的面积
②当四边形的面积为
，且与直线
有公共点时，直接写出
的取值范围.
【答案】(1) 
，
;
(2) （1，3）、（3，1）;
(3)①1;②-4≤b≤4.
【解析】
（1）如图1中，观察图象可知：F、G能够成为点M，P的“极好菱形”顶点；
（2）先求得对角线PM的长，从而可得到正方形的边长，然后可得到这个正方形另外两个顶点的坐标；
（3）①，先依据题意画出图形，然后可证明该四边形为正方形，从而可求得它的面积；②根据菱形的性质得：PM⊥QN，且对角线互相平分，由菱形的面积为8，且菱形的面积等于两条对角线积的一半，可得QN的长，证明Q在y轴上，N在x轴上，可得结论．
解：（1）如图1中，观察图象可知：F、G能够成为点M，P的“极好菱形”顶点．
故答案为：F，G；
（2）如图2所示：
∵点M的坐标为（1，1），点P的坐标为（3，3），
∴MP=2
．
∵“极好菱形”为正方形，其对角线长为2，
∴其边长为2．
∴这个正方形另外两个顶点的坐标为（1，3）、（3，1）．
（3）①如图2所示：
∵M（1，1），P（3，3），N（3，1），
∴MN=2，PN⊥MN．
∵四边形MNPQ是菱形，
∴四边形MNPQ是正方形．
∴S四边形MNPQ=4．．
②如图3所示：
∵点M的坐标为（1，1），点P的坐标为（3，3），
∴PM=2，
∵四边形MNPQ的面积为8，
∴S四边形MNPQ=
PMQN=8，即
×2×QN=8，
∴QN=4，
∵四边形MNPQ是菱形，
∴QN⊥MP，ME=，EN=2，
作直线QN，交x轴于A，
∵M（1，1），
∴OM=，
∴O=2，
∵M和P在直线y=x上，
∴∠MOA=45°，
∴△EOA是等腰直角三角形，
∴EA=2，
∴A与N重合，即N在x轴上，
同理可知：Q在y轴上，且ON=OQ=4，
由题意得：四边形MNPQ与直线y=x+b有公共点时，b的取值范围是-4≤b≤4．
