Question

△ABC和△ECD都是等边三角形
（1）如图1，若B、C、D三点在一条直线上，求证：BE=AD；
（2）保持△ABC不动，将△ECD绕点C顺时针旋转，使∠ACE=90°（如图2），BC与DE有怎样的位置关系？说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等边三角形的性质和已知条件证明△ACD≌△BCE即可，
（2）BC垂直平分DE，延长BC交DE于M，证明∠ECM=∠DCM，利用三线合一证明即可．

解答：（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
即∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE；
（2）BC垂直平分DE，
理由：延长BC交DE于M，
∵∠ACB=60°，∠ACE=90°，
∴∠ECM=180°-∠ACB-∠ACE=30°，
∵∠DCM=∠ECD-∠ECM=30°
∴∠ECM=∠DCM，
∵△ECD是等边三角形
∴CM垂直平分DE
即BC垂直平分DE．

点评：本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确做出辅助线．