题目内容

(1)求证:△ACE≌△BCD;
(2)设AC和DE交于点M,若AD=6,BD=8,求ED与AM的长.
分析:(1)根据等腰直角三角形性质求出AC=BC,EC=CD,∠ACB=∠DCE=90°,求出∠ACE=∠BCD,根据SAS证出即可;
(2)根据全等求出AE=BD=8,∠EAC=∠B,求出∠EAD=90°,根据勾股定理求出DE即可;过C作CN⊥ED于N,过A作AG⊥DE于G,根据三角形的面积公式求出AG,根据直角三角形性质求出DN,求出NG、CN,根据AG∥CN得出比例式,求出MG,在△AGM中,根据勾股定理求出AM即可.
(2)根据全等求出AE=BD=8,∠EAC=∠B,求出∠EAD=90°,根据勾股定理求出DE即可;过C作CN⊥ED于N,过A作AG⊥DE于G,根据三角形的面积公式求出AG,根据直角三角形性质求出DN,求出NG、CN,根据AG∥CN得出比例式,求出MG,在△AGM中,根据勾股定理求出AM即可.
解答:(1)证明:∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,
∴AC=BC,EC=CD,∠ACE=∠BCD,
在△ACE和△BCD中
,
∴△ACE≌△BCD.
(2)解:∵△ACE≌△BCD,
∴AE=BD=8,∠EAC=∠B,
∵∠B+∠BAC=180°-90°=90°,
∴∠EAC+∠BAC=90°,
即∠EAB=90°,
在Rt△EAD中,由勾股定理得:DE=
=10,
过C作CN⊥ED于N,过A作AG⊥DE于G,
∴AG∥CN,
在△AED中,由三角形的面积公式得:AE×AD=DE×AG,
∴AG=
=
,
在Rt△CED中,CE=CD,∠ECD=90°,CN⊥DE,
∴EN=DN=
DE=5,
在△DGA中,由勾股定理得:DG=
=
,
∴NG=5-
=
,
∵AG∥CN,
∴
=
=
=
,
∴
=
,
∴MG=
,
在Rt△AGM中,由勾股定理得:AM=
=
=
,即AM=
.
∴AC=BC,EC=CD,∠ACE=∠BCD,
在△ACE和△BCD中
|
∴△ACE≌△BCD.
(2)解:∵△ACE≌△BCD,
∴AE=BD=8,∠EAC=∠B,
∵∠B+∠BAC=180°-90°=90°,
∴∠EAC+∠BAC=90°,
即∠EAB=90°,
在Rt△EAD中,由勾股定理得:DE=
62+82 |

过C作CN⊥ED于N,过A作AG⊥DE于G,
∴AG∥CN,
在△AED中,由三角形的面积公式得:AE×AD=DE×AG,
∴AG=
6×8 |
10 |
24 |
5 |
在Rt△CED中,CE=CD,∠ECD=90°,CN⊥DE,
∴EN=DN=
1 |
2 |
在△DGA中,由勾股定理得:DG=
AD2-AG2 |
18 |
5 |
∴NG=5-
18 |
5 |
7 |
5 |
∵AG∥CN,
∴
GM |
MN |
AG |
CN |
| ||
5 |
24 |
25 |
∴
MG | ||
|
24 |
25 |
∴MG=
24 |
35 |
在Rt△AGM中,由勾股定理得:AM=
AG2+GM2 |
(
|
24 |
7 |
2 |
24 |
7 |
2 |
点评:本题考查了等腰三角形性质,勾股定理,等腰直角三角形,全等三角形的性质和判定等知识点的运用,能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键,题目比较典型,有一定的难度.

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