题目内容

如图,△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,D为AB边上一点.
(1)求证:△ACE≌△BCD;
(2)设AC和DE交于点M,若AD=6,BD=8,求ED与AM的长.
分析:(1)根据等腰直角三角形性质求出AC=BC,EC=CD,∠ACB=∠DCE=90°,求出∠ACE=∠BCD,根据SAS证出即可;
(2)根据全等求出AE=BD=8,∠EAC=∠B,求出∠EAD=90°,根据勾股定理求出DE即可;过C作CN⊥ED于N,过A作AG⊥DE于G,根据三角形的面积公式求出AG,根据直角三角形性质求出DN,求出NG、CN,根据AG∥CN得出比例式,求出MG,在△AGM中,根据勾股定理求出AM即可.
解答:(1)证明:∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,
∴AC=BC,EC=CD,∠ACE=∠BCD,
在△ACE和△BCD中
AC=BC
∠ACE=∠BCD
CE=CD

∴△ACE≌△BCD.

(2)解:∵△ACE≌△BCD,
∴AE=BD=8,∠EAC=∠B,
∵∠B+∠BAC=180°-90°=90°,
∴∠EAC+∠BAC=90°,
即∠EAB=90°,
在Rt△EAD中,由勾股定理得:DE=
62+82
=10,
过C作CN⊥ED于N,过A作AG⊥DE于G,
∴AG∥CN,
在△AED中,由三角形的面积公式得:AE×AD=DE×AG,
∴AG=
6×8
10
=
24
5

在Rt△CED中,CE=CD,∠ECD=90°,CN⊥DE,
∴EN=DN=
1
2
DE=5,
在△DGA中,由勾股定理得:DG=
AD2-AG2
=
18
5

∴NG=5-
18
5
=
7
5

∵AG∥CN,
GM
MN
=
AG
CN
=
24
5
5
=
24
25

MG
7
5
-MG
=
24
25

∴MG=
24
35

在Rt△AGM中,由勾股定理得:AM=
AG2+GM2
=
(
24
5
)
2
+(
24
35
)
2
=
24
7
2
,即AM=
24
7
2
点评:本题考查了等腰三角形性质,勾股定理,等腰直角三角形,全等三角形的性质和判定等知识点的运用,能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键,题目比较典型,有一定的难度.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网