Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），且OC=OB，tan∠OAC=4．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH⊥AD于点H，作PM平行于y轴交直线AD于点M，交x轴于点E，求△PHM的周长的最大值．

（3）在（2）的条件下，如图2，在直线EP的右侧、x轴下方的抛物线上是否存在点N，过点N作NG⊥x轴交x轴于点G，使得以点E、N、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请直接写出点G的坐标：如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣3x﹣4（2）4+4（3）存在

【解析】

（1）先由锐角三角函数的定义求得C的坐标，从而得到点B的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4），将点C的坐标代入求解即可；
（2）先求得抛物线的对称轴，从而得到点D（3，-4），然后可求得直线AD的解析式y=-x-1，故∠BAD=45°，接下来证明△PMD为等腰直角三角形，所当PM有最大值时三角形的周长最大，设P（a，a2-3a-4），M（-a-1），则PM=-a2+2a+3，然后利用配方可求得PM的最大值，最后根据△MPH的周长=（1+）PM求解即可；
（3）设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4）, 若= 时，△AOC∽△EGN,

则=，求出a 的值，若=时，△AOC∽△NGE，则=4，

求出a的值，舍去不符合的即可得出答案.

（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），

∴OA=1．

又∵tan∠OAC=4，

∴OC=4，

∴C（0，﹣4）．

∵OC=OB，

∴OB=4，

∴B（4，0）．

设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）

∵将x=0，y=﹣4代入得：﹣4a=﹣4，解得a=1，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4．

（2）∵抛物线的对称轴为x=﹣=，C（0，﹣4），

∵点D和点C关于抛物线的对称轴对称，

∴D（3，﹣4）

设直线AD的解析式为y=kx+b．

∵将A（﹣1，0）、D（3，﹣4）代入得：，

解得k=﹣1，b=﹣1，

∴直线AD的解析式y=﹣x﹣1．

∵直线AD的一次项系数k=﹣1，

∴∠BAD=45°．

∵PM平行于y轴，

∴∠AEP=90°，

∴∠PMH=∠AME=45°．

∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+MP+PM=（1+）PM．

设P（a，a2﹣3a﹣4），则M（a，﹣a﹣1），

则PM═﹣a﹣1﹣（a2﹣3a﹣4）=﹣a2+2a+3=﹣（a﹣1）2+4．

∴当a=1时，PM有最大值，最大值为4．

∴△MPH的周长的最大值=4×（1+）=4+4；

（3）存在

点G的坐标为（，0）或（，0）．

附解题过程：设点G的坐标为（a，0），则N（a，a2﹣3a﹣4）

①如图1，

若= 时，△AOC∽△EGN．

则=，整理得：a2+a﹣8=0．

得：a=（负值舍去）∴点G为（，0）

②如图2，

若=时，△AOC∽△NGE．

则=4，整理得：4a2﹣11a﹣17=0．

得：a=（负值舍去）

∴点G为（，0）．

综上所述，点G的坐标为（，0）或（，0）．