Question

【题目】如图，中，，．、是边、边上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止．为中点．

试探究的形状，并说明理由．

在运动过程中，四边形可能成为正方形吗？如能求正方形的边长．

当为多少时，的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

【答案】为等腰直角三角形，理由见解析；四边形是正方形，且其边长为；（为时，的面积最大，最大面积是．

【解析】

（1）根据F是AB中点，可得AF=BF=CF，∠A=∠FCE=45°，即可证明△ADF≌△CEF，于是可得DF=EF，∠AFD=∠CFE，即可求得∠DFE=90°，即可得到结论；

（2）根据三角形中位线定理和等腰直角三角形的性质即可证得；

（3）设AD=x，则CE=x，DC=8-x，根据三角形面积公式得出函数关系式，根据函数的顶点式即可求得.

解:为等腰直角三角形，

理由：如图连接，

∵是中点，，，

∴，，

在和中，

，

∴；

∴，，

∵，

∴，即，

∴是等腰直角三角形；当、分别为、中点时，四边形是正方形，

∵，为中点，

∴，，

∵，

∴，

又∵，

∴四边形是正方形，且其边长为；设，则，，

∵，

∴当为时，的面积最大，最大面积是．