Question

如图，A（-1，0），B（0，-3），以A为直角顶点，AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．
（1）求点C到x轴的距离CD的长；
（2）利用图形面积之间的关系，求AC的长．

Answer 1

分析：（1）过点C作CD⊥x轴于D，由全等三角形的判定定理得出Rt△ACD≌Rt△BAO，再由全等三角形的对应边相等即可得出CD的长，进而得出结论；
（2）由（1）中全等三角形的对应边相等得出AD的长，再根据S_Rt△ABC=S_梯形ODCB-2S_Rt△ACD即可得出结论．

解答：解：（1）过点C作CD⊥x轴于D，
∵OA⊥OB，CD⊥AD，△ABC为等腰直角三角形，
∴∠AOB=∠CAB=∠ADC=90°且AC=BA，
∴∠DAC+∠OAB=90°∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠DAC=∠OBA，
在Rt△ACD与Rt△BAO中
∵

∠DAC=∠OBA ∠ADC=∠AOB AC=BA

，
∴Rt△ACD≌Rt△BAO（AAS），
∴CD=OA，
又∵A（-1，0），
∴OA=CD=1，
即点C到x轴的距离CD的长为1个单位长度；

（2）由（1）得：AD=OB=3
∴DO=AD+AO=4，
S梯形ODCB=

CD+OB

2

•DO=

1+3

2

×4=8，
SRt△ADC=SRt△OAB=

CD•DA

2

=

1×3

2

=

3

2

，
SRt△ABC=S梯形ODCB-2SRt△ADC=

AC×BA

2

=

AC2

2

=8-2×

3

2

=5，
∴AC²=10，AC＞0，AC=

10

．

点评：本题考查的是等腰直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出全等的直角三角形及梯形是解答此题的关键．