Question

已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x="4." 设
顶点为点P，与x轴的另一交点为点B.
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线 y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N. 将△PMN沿直线MN对折，得到△P₁MN. 在动点M的运动过程中，设△P₁MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒. 求S关于t的函数关系式.

Answer 1

解：（1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c

由题意得   解得
∴二次函数的解析式为y= x²－8x+12 ……………………………………………2分
点P的坐标为（4，－4）…………………………………………………………3分
（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形. 理由如下：
当y=0时，x²-8x+12="0  " ∴x₁="2" ， x₂=6
∴点B的坐标为（6，0）
设直线BP的解析式为y=kx+m
则      解得
∴直线BP的解析式为y=2x－12
∴直线OD∥BP………………………………………4分
∵顶点坐标P（4，－4）    ∴ OP=4
设D(x，2x)   则BD²=（2x）²+(6－x)²
当BD=OP时，（2x）²+(6－x)²=32
解得：x₁=，x ₂=2…………………………………………………………………6分
当x₂=2时，OD=BP=，四边形OPBD为平行四边形，舍去
∴当x=时四边形OPBD为等腰梯形…………………7分
∴当D(，)时，四边形OPBD为等腰梯形 ………8分
（3）① 当0＜t≤2时，
∵运动速度为每秒个单位长度，运动时间为t秒，
则MP=t   ∴PH=t，MH=t，HN=t  ∴MN=t
∴S=t·t·=t²  ……………………10分
② 当2＜t＜4时，P₁G=2t－4，P₁H=t
∵MN∥OB    ∴ ∽
∴    ∴
∴=3t²－12t+12
∴S=t²－(3t²－12t+12)= －t²+12t－12
∴ 当0＜t≤2时，S=t²
当2＜t＜4时，S=－t²+12t－12 ……………12分解析:
略