Question

把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）．
（1）试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
（2）若正方形的边长为2cm，重叠部分（四边形ABHG）的面积为

4 3

3

cm²，求旋转的角度．

Answer 1

分析：（1）由正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，根据旋转的性质得到AG=AB，∠G=∠B=90°，于是Rt△AGH≌Rt△ABH，得到HG=HB；
（2）由于Rt△AGH≌Rt△ABH，则S_{四边形ABHG}=2S_△ABH=

4 3

3

，得到S_△ABH=

2 3

3

，利用三角形的面积公式可求出BH=

2 3

3

，再录三角函数可得到∠2=30°，得到∠GAE，最后通过互余求出旋转角∠DAG．

解答：解：（1）线段HG与线段HB相等．理由如下：
连AH，如图，
∵正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，
∴AD=AG，AB=AE，
∴AG=AB，∠G=∠B=90°，
在Rt△AGH和Rt△ABH中

AH=AH AG=AB

，
∴Rt△AGH≌Rt△ABH（HL），
∴HG=HB；

（2）由（1）得，S_{四边形ABHG}=2S_△ABH=

4 3

3

（cm²），
∴S_△ABH=

2 3

3

（cm²），
∴

1

2

•AB•BH=

2 3

3

，
而AB=2cm，
∴BH=

2 3

3

cm，
∴tan∠2=

2 3 3

2

=

3

3

，
∴∠2=30°，
∴∠GAB=60°，
∴∠DAG=90°-60°=30°，
即旋转的角度为30°．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质以及特殊角的三角函数值．