Question

【题目】如图，在边长为2的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如图，连接OB、OD； 设小圆的圆心为P，⊙P与⊙O的切点为G；过G作两圆的公切线EF，交AB于E，交BC于F，
则∠BEF=∠BFE=90°﹣30°=60°，所以△BEF是等边三角形．
在Rt△OBD中，∠OBD=30°，
则OD=BDtan30°=1× = ，OB=2OD= ，BG=OB﹣OG= ；
由于⊙P是等边△BEF的内切圆，所以点P是△BEF的内心，也是重心，
故PG= BG= ；
∴S⊙o=π×（ ）2= π，S⊙P=π×（ ）2= π；
∴S阴影=S△ABC﹣S⊙O﹣3S⊙P= ﹣ π﹣ π= ﹣ π．
所以答案是： ﹣ π．

【考点精析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心的相关知识点，需要掌握三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心才能正确解答此题．