Question

小宇将两张长为8宽为2的矩形条交叉如图①，发现重叠部分可能是一个菱形．
（1）请你帮助小宇证明四边形ABCD是菱形．
（2）小宇又发现：如图②时，菱形ABCD的周长最小，等于______；
如图③时菱形ABCD的周长最大，求此时菱形ABCD的周长．

Answer 1

（1）证明：如图①，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵两条纸条宽度相同（对边平行），
∴AB∥CD，AD∥BC，AE=AF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵S_?ABCD=BC•AE=CD•AF，
又∵AE=AF，
∴BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形；

解：（2）如图②，当两纸条互相垂直时，菱形的周长最小，此时菱形的边长等于纸条的宽，为2，
所以，菱形的周长=4×2=8．
故答案是：8；

（3）如图③，菱形的一条对角线与矩形的对角线重合时，周长最大，
设AB=BC=x，则BE=8-x，
在Rt△BCE中，BC²=BE²+CE²，
即x²=（8-x）²+2²，
解得x=，
所以，菱形的周长=4×=17．
分析：（1）首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形；
（2）根据垂线段最短，当两纸条垂直放置时，菱形的周长最小，边长等于纸条的宽度；
（3）当菱形的一条对角线为矩形的对角线时，周长最大，作出图形，设边长为x，表示出BE=8-x，再利用勾股定理列式计算求出x，然后根据菱形的四条边都相等列式进行计算即可得解．
点评：本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，主要利用了菱形的四条边都相等的性质，判断出周长最小与最大时的情况是解题的关键，作出图形更形象直观．