Question

Rt△AOB中直角边OA、OB分别在x轴、y轴的正半轴上，O为坐标原点，以F为圆心的圆与y轴、直线AB分别相切于O、D（如图），若AD=2，AE=1．
（1）求BD的长度；
（2）求经过A、B两点的直线的解析式；
（3）求经过E、D、O三点的二次函数的解析式；
（4）判断（3）中抛物线的顶点是否在直线AB上．

Answer 1

分析：（1）根据圆的切线的性质，连接DF，可得直角三角形，借助于方程，利用勾股定理求得圆的半径，利用相似求得BD的长；
（2）根据（1）的结论可得A，B的坐标，利用待定系数法可求得经过A、B两点的直线的解析式；
（3）首先求得点D的坐标，将点O，E，D的坐标代入二次函数的一般式，解方程组即可；
（4）求得抛物线的顶点坐标，再代入解析式，看是否左右相等即可．

解答：解：（1）设⊙F的半径为r
连接DF，∴BA⊥DF
∵AD切⊙F于D点
∴AD²=AE•AO即2²=1•（2r+1）
∴r=

3

2

又Rt△ADF∽Rt△AOB
∴

AD

AO

=

AF

AB

即

2

1+3

=

1+ 3 2

AB

∴AB=5，故BD=3；

（2）显然A（4，0）、B（0，3）
故设解析式为y=kx+3
将（4，0）代入得AB解析式y=-

3

4

x+3；

（3）过D作DH⊥AO于H，
∴DH=BO
∵△ABO∽△ADH
∴DH=

6

5

又∵DH∥BO
∴

BD

AB

=

OH

AO

，即

2

5

=

OH

4

∴OH=

8

5

∴D点坐标为（

8

5

，

6

5

）
E点坐标（3，0）
设经过EDO的函数解析式为y=ax²+bx+c．

0=a•32+b•3+c 6 5 =a•( 8 5 )2+b• 8 5 +c 0=a•02+b•0+c

得

a=- 15 28 b= 45 28 c=0

∴所求函数解析式为y=-

15x2

28

+

45

28

；

（4）（3）中的顶点为（

3

2

，

135

112

）．
当x=

3

2

时，代入y=-

3

4

x+3=-

3

4

×

3

2

+3=

15

8

≠

135

112

故（3）的顶点不在直线AB上．

点评：此题考查了二次函数与圆的综合知识，解题时要注意圆的性质，待定系数法的应用，特别是要注意数形结合思想与方程思想的应用．