Question

15、给出如下n个平方数：1²，2²，…，n²，规定可以在其中的每个数前任意添上“+”号或“-”号，所得的代数和记为L．
（1）当n=8时，试设计一种可行方案使得|L|最小；
（2）当n=2005时，试设计一种可行方案使得|L|最小．

Answer 1

分析：（1）应该尽量构成互为相反数的两组数，可使2，3，5，8项的符号于其他项的符号相反即可；
（2）由于给定的2005个数中有1003个奇数，因而无论如何设计实施什么方案，即不管如何添置“+”和“-”号，其代数和总为奇数，故所求的最终代数和大于等于1．于是我们寻求最终代数和等于1的可行方案；
②因为k²-（k+1）²-（k+2）²+（k+3）³=4，-k²+（k+1）²+（k+2）²-（k+3）³=-4，所以对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；③若对6²，7²，…，2005²，根据①每连续8个一组适当添加“+”和“-”号，使每组的代数和为0，然后对1²，2²，…，5²进而设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1．④在对1²，2²，…，5²的设计过程中，有一种方案：-1²+2²-3²+4²-5²=-15，又由①知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，进而16个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为16．据此设计可行方案．

解答：解：（1）当L=1²-2²-3²+4²-5²+6²+7²-8²=0
或L=-1²+2²+3²-4²+5²-6²-7²+8²=0时，|L|最小且最小值为0；
（2）当n=2005时，
①∵给定的2005个数中有1003个奇数，
∴不管如何添置“+”和“-”号，其代数和总为奇数，
∴所求的最终代数和大于等于1．
于是我们寻求最终代数和等于1的可行方案．
②∵k²-（k+1）²-（k+2）²+（k+3）³=4，-k²+（k+1）²+（k+2）²-（k+3）³=-4，
∴对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；
③若对6²，7²，…，2005²，根据①每连续8个一组适当添加“+”和“-”号，使每组的代数和为0，然后对1²，2²，…，5²进而设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1．
④在对1²，2²，…，5²的设计过程中，有一种方案：-1²+2²-3²+4²-5²=-15，
又由①知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，
∴16个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为16．
综上，可行方案为：
首先对22²，23²，…，2005²，根据①每连续8个一组适当添加“+”和“-”号，使每组的代数和为0；其次对6²，7²，…，21²，根据③适当添加“+”和“-”号，使每组的代数和为16；最后对1²，2²，…，5²作-1²+2²-3²+4²-5²=-15设置，便可以使得给定的2005个数的代数和为1，即|L|最小．

点评：此题考查整数的奇偶性问题，由（1）得出规律：对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0，是解题的关键．