题目内容

如图，已知AB=AC+BD，∠CAB=∠ABD=90°AD交BC于P，⊙P与AB相切于点Q．设AC=a，BD=b（a≤b）．
（1）求⊙P的半径r；
（2）以AB为直径在AB的上方作半圆O（用尺规作图，保留痕迹，不写作法），请你探索⊙O与⊙P的位置关系，做出判断并加以证明；
（3）设a=2，b=4，能否在半圆O中，再画出两个与⊙P同样大小的⊙M和⊙N，使这3个小圆两两相交，并且每两个小圆的公共部分的面积都小于 $数学公式$ π？请说出你的结论，并给出证明．

解：（1）如图1，连接PQ，
∵⊙P与AB相切于Q
∴PQ⊥AB且PQ=r
∵∠CAB=∠ABD=90°
∴△BPQ∽△BCA，△APQ∽△ADB
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴r= $\text{[math]}$ ；

（2）如图2：⊙O与⊙P相切，
证明：∵⊙O的半径R= $\text{[math]}$

∴Rr= $\text{[math]}$
∴AQ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =a
OQ= $\text{[math]}$ -a= $\text{[math]}$
连接PO
则PO= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =R-r
∴⊙O与⊙P相切；

（3）由（2）知，半圆O的半径= $\text{[math]}$ =3，
假设符合要求的图形存在，每两个圆的公共部分的面积分别为S_PM、S_MN、S_PN，则它们均小于 $\text{[math]}$ π，又设每个小圆的面积为S，三个小圆公共部分的面积为S_PMN，则三个小圆的覆盖面积=3S-（S_PM+S_MN+S_PN）+S_PMN＞3π•（ $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ π+S_PMN≥ $\text{[math]}$ π= $\text{[math]}$ π=半圆O的面积，而这是不可能的，故不能在这个半圆O中画出符合要求的⊙M和⊙N．
分析：（1）易证得△BPQ∽△BCA，△APQ∽△ADB，得到 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，故可求得r的值；
（2）作出AB的中垂线交于AB于点O，以点O为圆心，AO为半径作半圆，即可，由于⊙O的半径R= $\text{[math]}$ ，⊙P的半径为r= $\text{[math]}$ ，可得到AQ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =a，OQ= $\text{[math]}$ -a= $\text{[math]}$ ，连接PO，由勾股定理得到PO=R-r，故⊙O与⊙P相切；
（3）用反证法判断．
点评：本题利用了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆的面积公式，反证法求解，还考查了圆的作法．