Question

如图，已知平行四边形ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连结AF、CE．

    (1)求证：四边形AECF为平行四边形；

    (2)当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB：AE的值．

Answer 1

 (1)证明：因为AE⊥BC，所以∠AMB=90⁰，

因为CN⊥AD，所以∠CNA=90⁰．

又因为BC‖AD，所以∠BCN=90⁰．

所以AE∥CF，………………………………………………………………………2分

又由平行得∠ADE=∠CBD，又AD=BC，

所以ΔADE≌△BCF，

所以AE=CF，

所以四边形AECF为平行四边形．…………………………………………………4分

(2)当AECF为菱形时，连结AC交BF于点0，

则AC与EF互相垂直平分，

又BO=OD，

所以AC与BD互相垂直平分，

所以，四边形ABCD是菱形，……………………6分

所以AB=BC.

因为M是BC的中点，AM⊥BC，

所以，ΔABM≌ΔCAM，

所以，AB=AC，

ΔABC为等边三角形，

∠ABC=60⁰，∠CBD=30⁰．  ………………………………………………………8分

在RtΔBCF中，   

CF：BC=tan∠CBF=，

又AE=CF，AB=BC，   

所以AB：AE=…………………………………………………………………l0分