Question

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD，BE交AD的延长线于点E，点F在AB上，且EF∥AC．
求证：（1）AF=FE；（2）点F是AB的中点．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，根据两直线平行，内错角相等可得∠CAD=∠AEF，从而得到∠BAD=∠AEF，再根据等角对等边证明即可；
（2）根据等角的余角相等求出∠FBE=∠FEB，根据等角对等边可得BF=FE，然后求出AF=BF，再根据线段中点的定义证明即可．

解答：证明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF∥AC，
∴∠CAD=∠AEF，
∴∠BAD=∠AEF，
∴AF=FE；

（2）∵BE⊥AD，
∴∠BAD+∠FBE=180°-90°=90°，
∠AEF+∠FEB=90°，
∴∠FBE=∠FEB，
∴BF=FE，
又∵AF=FE，
∴AF=BF，
∴点F是AB的中点．

点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，等角的余角相等的性质，熟记等角对等边并准确识图是解题的关键．