Question

已知：如图，C为半圆上一点，

AC

=

CE

，过点C作直径AB的垂线CP，P为垂足，弦AE分别交PC，CB于点D，F．
（1）求证：AD=CD；
（2）若DF=

5

4

，tan∠ECB=

3

4

，求PB的长．

Answer 1

分析：（1）要求证：AD=CD，可以连接AC，转化为证明∠CAD=∠ACD．
（2）已知tan∠ECB=

3

4

，就是已知∠DAP的正切值，根据△APC∽△CPB，可以根据相似三角形的对应边的比相等求得．

解答：（1）证明：连接AC，
∵

AC

=

CE

，
∴∠CEA=∠CAE．
∵∠CEA=∠CBA，
∴∠CBA=∠CAE．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠ACP+∠PCB=90°，
∵CP⊥AB，
∴∠PCB+∠CBA=90°，
∴∠CBA=∠ACP，
∴∠CAE=∠ACP
∴AD=CD．（4分）

（2）解：∵∠ACB=90°，∠CAE=∠ACP，
∴∠DCF=∠CFD．
∴AD=CD=DF=

5

4

．（5分）
∵∠ECB=∠DAP，tan∠ECB=

3

4

，
∴tan∠DAP=

DP

PA

=

3

4

．（6分）
∵DP²+PA²=DA²
∴DP=

3

4

，PA=1．
∴CP=2．（7分）
∵∠ACB=90°，CP⊥AB，
∴△APC∽△CPB．（8分）
∴

AP

PC

=

PC

PB

．
∴PB=4．（9分）

点评：本题主要考查了三角函数的值是有角的大小确定的，以及相似三角形的对应边的比相等．