Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB = 6，AD = 9，点E是CD上的一个动点（E不与D重合），过点E作EF∥AC，交AD于点F（当E运动到C时，EF与AC重合），把△DEF沿着EF对折，点D的对应点是点G,如图①．

⑴ 求CD的长及∠1的度数；
⑵ 设DE = x，△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y．求y与x之间的函数关系式，并求x为何值时，y的值最大?最大值是多少?
⑶ 当点G刚好落在线段BC上时,如图②,若此时将所得到的△EFG沿直线CB向左平移，速度为每秒1个单位，当E点移动到线段AB上时运动停止.设平移时间为t（秒）,在平移过程中是否存在某一时刻t，使得△ABE为等腰三角形?若存在，请直接写出对应的t的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）CD= ，∠1 =30°；（2）当x=时，y的值最大，y的最大值为；（3）存在， t=9或t=9﹣2或t=12﹣．

解析试题分析：（1）过点A作AH⊥BC于点H，构建Rt△AHB和矩形AHCD；通过解直角三角形、矩形的性质求得CD=AH=．则，故∠CAD=30°；然后由平行线的性质推知∠1=∠CAD=30°；
（2）根据△EFG≌△EFD列出y的表达式，从而讨论x的范围，分别得出可能的值即可；
（3）需要分类讨论：以AB为底和以AB为腰的情况．
试题解析：（1）过点A作AH⊥BC于点H．

∵在Rt△AHB中，AB=6，∠B=60°，
∴AH=AB•sinB=
∵四边形ABCD为直角梯形
∴四边形AHCD为矩形
∴CD=AH=．
∵
∴∠CAD=30°
∵EF∥AC
∴∠1=∠CAD=30°；
（2）点G恰好在BC上，由对折的对称性可知△FGE≌△FDE，

∴GE=DE=x，∠FEG=∠FED=60°
∴∠GEC=60°
∵△CEG是直角三角形
∴∠EGC=30°
∴在Rt△CEG中，EC=EG=x
由DE+EC=CD 得
∴x=；
当时，

y=S_△EGF=S_△EDF=·DE·DF=x·x=x²，
∵＞0，对称轴为y轴
∴当，y随x的增大而增大
∴当x=时，y_最大值=；
当＜x≤时，设FG，EG分别交BC于点M、N

∵DE=x，
∴EC=﹣x，NE=2(﹣x)，
∴NG=GE﹣NE=3x﹣．
又∵∠MNG=∠ENC=30°，∠G=90°，
∴MG=NG•tan30°=，
，
y=S_△EGF﹣S_△MNG==．
∵，对称轴为直线，
∴当＜x≤时，y有最大值，
∴当x=时，．
综合两种情形：由于＜
∴当x=时，y的值最大，y的最大值为；
（3）由题意可知：AB=6，分三种情况：
①若AE=BE，解得t=9
②若AB=AE，解得t=9﹣2
③若BA=BE，解得t=12﹣．
考点：1.二次函数综合题2.全等三角形的判定与性质．