Question

已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴．一次函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧），且A点坐标为（-4，4），平行于x轴的直线l过（0，-1）点。
（1）求一次函数与二次函数的解析式；
（2）判断以线段AB为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明；
（3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位（t > 0），二次函数的图象与x轴交于M，N两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F，M，N三点的圆的面积最小？最小面积是多少？

Answer 1

解：（1）一次函数的解析式为；                
二次函数解析式为．                     
（2）由解得或，，        
过点分别作直线的垂线，垂足为，
则，
直角梯形的中位线长为，

过作垂直于直线于点，则，，
，
∴的长等于中点到直线的距离的2倍，
∴以为直径的圆与直线相切．
（3）平移后二次函数解析式为，
令y=0，得，，，
∵过F，M，N三点的圆的圆心一定在直线x=2上，点为定点，
∴要使圆面积最小，圆半径应等于点到直线的距离，半径为2，面积为，
设圆心为C，MN中点为，连CE，CM，则，  
在三角形中，，
，而，
，   
 当时，过F，M，N三点的圆面积最小，最小面积为．