Question

已知：如图，在菱形ABCD中，BE=DF，DE和CB的延长线相交于G．
求证：（1）△ADE≌△CBF；（2）

GE

BF

=

GB

CD

．

Answer 1

分析：（1）首先由菱形ABCD的性质得到AD=BC，∠A=∠C，又BE=DF，由此得到AE=CF，然后利用全等三角形的判定方法即可证明△ADE≌△CBF；
（2）由（1）得到DE=BF，根据菱形性质得到AB∥CD，然后利用平行线分线段成比例得到

GE

DE

=

GB

BC

，接着即可证明题目结论．

解答：证明：（1）∵在菱形ABCD中，AD=BC，∠A=∠C，
又∵AB=CD，BE=DF，
∴AE=CF，
∴△ADE≌△CBF；

（2）∵△ADE≌△CBF，
∴DE=BF，
∵在菱形ABCD中，BC=CD，AB∥CD，
∴

GE

DE

=

GB

BC

，
∴

GE

BF

=

GB

CD

．

点评：此题把菱形、全等三角形、平行线分线段成比例结合起来，综合性比较强，首先利用菱形的性质得到全等三角形，利用全等三角形的性质得到线段相等，再利用平行线分线段成比例解决题目的问题．