Question

【题目】如图，在中，，动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，过作，交于点，以为邻边作平行四边形，同时以为边向下作正方形，设点的运动时间为秒．

（1）点到直线的距离______________；（用含的代数式表示）

（2）当点落在落在上时，求的值；

（3）设平行四边形与正方形重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值．

（4）设，当时，直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）t；（2）t=；（3）S= ．S最大=；（4）t的值为1≤t≤或2≤t＜3．

【解析】

（1）如图1中，作AH⊥EF于H，交PQ于J．解直角三角形求出JH，AJ即可解决问题．
（2）如图2中，当点D在PF上时，根据BD=PBcos∠B，构建方程即可解决问题．
（3）分两种情形分别求解：①如图3中，当0＜t≤时，重叠部分是△PGQ，②如图4中，当＜t＜3时，重叠部分四边形PQDG．
（4）分两种情形：①如图5中，作DH∥PE交AB于H，连接EH．由DH∥PE，推出S△PED=S△PEH，推出S△PDE：S△APE=S△PHE：S△APE=PH：PA=m，由此构建不等式即可解决问题．②如图6中，作DH∥PE交AB于H，连接EH．构建不等式即可解决问题．

解：（1）如图1中，作AH⊥EF于H，交PQ于J．

∵PQ∥BC，
∴ ，
∴ ，
∴PQ=t，
∵四边形PQEF是正方形，
∴∠QPF=∠F=90°，
∵AH⊥EF，
∴∠FHJ=90°，
∴四边形PFHJ是矩形，
∴JH=PF=PQ=t，
在Rt△APJ中，AJ=PAsin∠APJ= =t，
∴AH=AJ+JH=t+ t．
（2）如图2中，当点D在PF上时，则有BD=PBcos∠B，

∵四边形PQDB是平行四边形，
∴BD=PQ，
∴（5-t，
解得t=．
（3）①如图3中，当0＜t≤时，重叠部分是△PGQ，S= t2．

②如图4中，当＜t＜3时，重叠部分四边形PQDG，

S=S平行四边形PQDB-S△PBG= =-3t2+11t-6．
综上所述，S= ．
第一种情况，当t=时，S最大=．第二种情况，当t=时，S最大= ．
综上，S最大=．
（4）①如图5中，作DH∥PE交AB于H，连接EH．

∵DH∥PE，
∴S△PED=S△PEH，
∴S△PDE：S△APE=S△PHE：S△APE=PH：PA=m，
由题意易知：PE∥AC∥DH，
∴BD：BC=BH：BA，
∴t：7=BH：5，
∴BH=t，
∴PH=5-t-t=5-t．
∴m=（5-t）： t，
∵≤m≤1时，
∴≤ ≤1，
解得：1≤t≤ ．
②如图6中，作DH∥PE交AB于H，连接EH．

同法可得：∴ ≤1，
解得：2≤t≤3．
综上所述，满足条件的t的值为1≤t≤或2≤t≤3．