Question

将矩形ABCD折叠，使得对角线的两个端点A，C重合，折痕所在直线交直线AB与点E，若AB=4，BE=1，则tan∠CAB的值是

2

2

或

6

2

．

Answer 1

分析：分类讨论：当点E在AB上时，连结EC，根据折叠性质得EC=EA=3，再根据勾股定理可计算出BC，然后正切的定义可计算出tan∠CAB的值；当点E在AB上时，连结EC，根据折叠性质得EC=EA=5，再根据勾股定理可计算出BC，然后正切的定义可计算出tan∠CAB的值．

解答：解：当点E在AB上时，连结EC，如图1，
AB=4，BE=1，则AE=AB-BE=3，
∵矩形ABCD折叠，使得对角线的两个端点A，C重合，折痕所在直线交直线AB与点E，
∴EC=EA=3，
在Rt△BEC中，BC=

EC2-BE2

=2

2

，
在Rt△ABC中，tan∠CAB=

BC

AB

=

2 2

4

=

2

2

；
当点E在AB上时，连结EC，如图2，
AB=4，BE=1，则AE=AB+BE=5，
∵矩形ABCD折叠，使得对角线的两个端点A，C重合，折痕所在直线交直线AB与点E，
∴EC=EA=5，
在Rt△BEC中，BC=

EC2-BE2

=2

6

，
在Rt△ABC中，tan∠CAB=

BC

AB

=

2 6

4

=

6

2

；
∴tan∠CAB的值为

2

2

或

6

2

．
故答案为

2

2

或

6

2

．

点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理、锐角三角函数以及分类讨论思想的运用．