题目内容

如图，△ABC，A（ $数学公式$ ，0），B（3，4），将△ABO沿着直线OB翻折，点A落在第二象限内的点C处
（1）求点C的坐标；
（2）动点P从点0出发以5个单位，秒的速度沿OB向终点B运动，连接AP，将射线AP绕着点A逆时针旋转与y轴交于一点Q，且旋转角α= $数学公式$ ∠OAB．设线段0Q的长为d，点P运动的时间为t秒，求d与t的函数关系式（直接写出时间t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接CP，点P在运动的过程中，是否存在CP∥AQ？若存在，求此时t的值，并判断点B与以点P为圆心，0Q长为半径的⊙P的位置关系；若不存在，请说明理由．

解：（1）设C（x，y）（x＜0，y＞0）．
∵A（ $\text{[math]}$ ，0），B（3，4），
∴OA= $\text{[math]}$ ，AB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
又∵将△ABO沿着直线OB翻折，点A落在第二象限内的点C处，
∴OA=OC，AB=CB；
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴点C的坐标是（- $\text{[math]}$ ，4）；

（2）如图1，连接AC，过点B作BG⊥x轴于点G，过点C作CH⊥x轴于点H．
∵A（ $\text{[math]}$ ，0），B（3，4），
∴OA= $\text{[math]}$ ，OG=3，BG=4，
∴AG= $\text{[math]}$ ，
∴AC= $\text{[math]}$ （勾股定理）；
∴AE= $\text{[math]}$ ；
同理，OE= $\text{[math]}$ ；
①当0≤t＜ $\text{[math]}$ 时，
∵OP=5t，
∴PE= $\text{[math]}$ -5t，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴d=- $\text{[math]}$ t+ $\text{[math]}$ ；
②当 $\text{[math]}$ ≤t≤1时，同理：d= $\text{[math]}$ t- $\text{[math]}$ ；

（3）如图2，过点P作PK⊥AB于点K；
∵CP∥AQ，
∴∠PCE=∠QAE；
∵AE=CE，AC⊥BO，
∴PC=PA，
∴∠PAE=∠PCE= $\text{[math]}$ ∠QAE=∠PAQ，
∴∠PAB=∠QAE，
∴∠PAE=∠PAB，
∴PE=PK；
∵在菱形ABCO中，∠PBK=∠OBF，
∴sin∠PBK=sin∠OBF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
∵OP=5t，OB=5，
∴PE= $\text{[math]}$ -5t，PB=5-5t，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得，t= $\text{[math]}$ ，
∴存在CP∥AQ，此时t= $\text{[math]}$ ；
∵ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ≤1，
∴t= $\text{[math]}$ 时，OQ=d= $\text{[math]}$ t- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，BP=OB-OP=5-5t=5- $\text{[math]}$ ×5= $\text{[math]}$ ，
∴BP=OQ，即点B与圆心P的距离等于⊙P的半径，点B在⊙P上，
∴存在CP∥AQ，此时t= $\text{[math]}$ ，且点B在⊙P上．
分析：（1）设C（x，y）．利用两点间的距离公式可以求得点C的坐标；
（2）如图1，连接AC，过点B作BG⊥x轴于点G，过点C作CH⊥x轴于点H．需要分类讨论：当0≤t＜ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ≤t≤1时，两种情况下的d与t的函数关系式（直接写出时间t的取值范围）；
（3）如图2，过点P作PK⊥AB于点K．假设存在CP∥AQ，利用平行线的性质、旋转的性质推知PE=PK；然后根据线段间的数量关系可以求得此时的t的值；
欲判断点B与以点P为圆心，0Q长为半径的⊙P的位置关系，只需证明点B与圆心P的距离是否等于⊙P的半径即可．
点评：本题综合考查了翻折变换、勾股定理、菱形的性质以及点与圆的位置关系等知识点．注意，解答（2）时，要分类讨论，以防漏解．