Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=3cm，AB=4cm，AD⊥BC于D，与BD等长的线段EF在边BC上沿BC方向以1cm/s的速度向终点C运动（运动前EF与BD重合），过E，F分别作BC的垂线交直角边于P，Q两点，设EF运动的时间为x（s）．
（1）若△BEP的面积为ycm²，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）线段EF运动过程中，四边形PEFQ有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时x的值；若不可能，说明理由；
（3）x为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer 1

解：（1）∵PE⊥BC，∠BAC=90°，
∴∠PEB=∠BAC，
∵∠B=∠B，
∴△BPE∽△ABC，
∴即，
∴PE=，
∴y=S_△BEP=BE•PE=•=，
即y=．
在Rt△ABC中，∠BAC=90，AD⊥BC
∵AB=4，AC=3，
∴BC=5，BD=，DC=，
∵0≤BE≤DC，
∴0≤x≤．
答：y关于x的函数解析式是y=x²，自变量x的取值范围是0≤x≤．

（2）有可能．
当四边形PEFQ是矩形时，有PE=QF，
由已知得PE=，
与求PE类似可求出QF=，
∴=，
解得x=，
∴当x=时，四边形PEFQ是矩形．

（3）分2种情形：
当∠APQ=∠B时，△APQ∽△ABC，
且四边形PEFQ是矩形，此时x=，
当∠APQ=∠C时，
由三角形面积公式得：×AC×AB=BC×AD，
AC=3，AB=4，BC=5，
∴AD=，
在Rt△ADB中，AB=4，AD=，由勾股定理得：BD=，
∴EF=BD=，
∴CF=5-x-=-x，
cos∠C==，
CQ=CF=（-x）=3-x，
∴AQ=3-（3-x）=x，
∵△AQP∽△ABC，
∴，
即=，
解得 x=，
∴当x=或时，以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
分析：（1）证△BPE∽△ABC，得到比例式，代入求出即可；
（2）根据矩形的性质得出PE=QF，把PE和QF的值代入求出即可；
（3）由（2）求出x，再∠APQ=∠C，证△AQP∽△ABC相似，得出比例式，求出即可；
点评：本题主要考查对矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键．