Question

已知抛物线y=ax²+bx+2与x轴相交于点A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂），且x₁，x₂是方程x²-2x-3=0的两个实数根，点C为抛物线与y轴的交点。

（1）求a，b的值；
（2）分别求出直线AC和BC的解析式；
（3）若动直线y=m（0＜m＜2）与线段AC，BC分别相交于D，E两点，则在x轴上是否存在点P，使得△DEP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）由x2-2x-3=0，得x1=-1，x2=3， ∴A（-1，0），B（3，0）， 把A，B两点的坐标分别代入y=ax2+bx+2联立求解，得； （2）由（1）可得， ∵当x=0时，y=2， ∴C（0，2）， 设AC：y=kx+b，把A，C两点坐标分别代入y=kx+b， 联立求得k=2，b=2， ∴直线AC的解析式为y=2x+2； 同理可求得直线BC的解析式是； （3）假设存在满足条件的点P， 并设直线y=m与y轴的交点为F（0，m）， ①当DE为腰时，分别过点D，E作DP1⊥x轴于P1，作EP2⊥x轴于P2， 如图，则△P1DE和△P2ED都是等腰直角三角形， DE=DP1=FO=EP2=m，AB=x2-x1=4， ∵DE∥AB， ∴△CDE∽△CAB， ∴，即， 解得m=， ∴点D的纵坐标是， ∵点D在直线AC上， ∴2x+2=，解得x=-， ∴， ∴，同理可求P2（1，0）； ②当DE为底边时，过DE的中点G作GP3⊥x轴于点P3，如图， 则DG=EG=GP3=m， 由△CDE∽△CAB， 得，即， 解得m=1， 同1方法，求得， ∴DG=EG=GP3=1， ∴OP3=FG=FE-EG=， ∴P3（，0）， 结合图形可知，P3D2=P3E2=2，ED2=4， ∴， ∴△DEP3是Rt△， ∴也满足条件。 综上所述，满足条件的点P共有3个，即。