Question

如图，△ABC是等边三角形，AB=6厘米，点P从点B出发，沿BC以每秒1厘米的速度运动到点C停止；同时点M从点B出发，沿折线BA-AC以每秒3厘米的速度运动到点C停止．如果其中一个点停止运动，则另一个点也停止运动．设点P的运动时间为t秒，P、M两点之间的距离为y厘米，则表示y与t的函数关系的图象大致是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：分类讨论：当M点在AB上，作MD⊥BC于D，根据等边三角形性质得AB=BC=6，∠B=60°，则∠BMD=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系可求出BD=t，MD=t，
则PD=t，然后利用勾股定理可得到y=t（0≤t≤2）；当M点在AC上，作MD⊥BC于D，运用相同的方法可得到y=7t²-54t+108（2≤t≤4），利用二次函数的性质得t=-=时，y有最小值，最后利用解析式对各选项中的图象进行判断即可得到答案．
解答：当M点在AB上，作MD⊥BC于D，如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=6，∠B=60°，
∴∠BMD=30°，
∵BM=3t，BP=t，
∴BD=BM=t，MD=BD=t，
∴PD=BD-BP=t，
在Rt△MPD中，PM²=MD²+PD²，即y²=（t）²+（t）²，
∴y=t（0≤t≤2），
当M点在AC上，作MD⊥BC于D，如图2，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=6，∠C=60°，
∴∠CMD=30°，
∵BA+AMP=3t，BP=t，
∴CM=12-3t，
∴DC=MC=（12-3t），MD=DC=（12-3t），
∴PD=BC-BP-CD=t，
在Rt△MPD中，PM²=MD²+PD²，即y²=[（12-3t）]²+（t）²，
∴y²=7t²-54t+108（2≤t≤4），
∴t=-=时，y有最小值，
综上所述当0≤t≤2时，y与t的函数关系的图象为以原点为端点的线段；当2≤t≤4时，y与t的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，且t=时，y有最小值．
故选D．
点评：本题考查了动点问题的函数图象：利用点运动的几何性质列出有关的函数关系式，然后根据函数关系式画出函数图象，注意自变量的取值范围；重点考查了通过看图获取信息，解决生活中的实际问题．