Question

长为20，宽为a的矩形纸片（10＜a＜20），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止．当n=3时，a的值为    ．

Answer 1

【答案】分析：首先根据题意可得可知当10＜a＜20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为20-a，第二次操作时正方形的边长为20-a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为20-a，2a-20．然后分别从20-a＞2a-20与20-a＜2a-20去分析求解，即可求得答案．
解答：解：由题意，可知当10＜a＜20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为20-a，
所以第二次操作时剪下正方形的边长为20-a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为20-a，2a-20．
此时，分两种情况：
①如果20-a＞2a-20，即a＜，那么第三次操作时正方形的边长为2a-20．
则2a-20=（20-a）-（2a-20），解得a=12；
②如果20-a＜2a-20，即a＞，那么第三次操作时正方形的边长为20-a．
则20-a=（2a-20）-（20-a），解得a=15．
∴当n=3时，a的值为12或15．
故答案为：12或15．
点评：此题考查了折叠的性质与矩形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用，注意折叠中的对应关系．