Question

如图，在矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F.

（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）当EF与AC满足____▲_____关系时，以A、E、C、F为顶点的四边形是菱形.

Answer 1

（1）见解析（2）EF⊥AC

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD（矩形的对角线互相平分），
AE∥CF（矩形的对边平行）．
∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF．
∴△BOE≌△DOF（AAS）．（4分）
（2）解：当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．（5分）
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC（矩形的对角线互相平分）．
又由（1）△BOE≌△DOF得，
OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（6分）
又EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．（8分）
（1）由矩形的性质：OB=OD，AE∥CF证得△BOE≌△DOF；
（2）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形求证